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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
6. Para la función $f(x)=5 x \sin\left(x^{2}\right)$, hallar una primitiva $F$ que verifique $F(0)=1$.
Respuesta
Vamos a usar la sustitución:
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$ u = x^2 $
Entonces,
$ du = 2x \, dx \quad \Rightarrow \quad x \, dx = \frac{1}{2} \, du $
Ahora lo sustituimos en la integral:
$ \int 5x \sin(x^2) \, dx = \int 5 \sin(u) \cdot \frac{1}{2} \, du $
$ = \frac{5}{2} \int \sin(u) \, du $
La integral de \( \sin(u) \) es:
$ \int \sin(u) \, du = -\cos(u) $
Por lo tanto:
$ \frac{5}{2} \int \sin(u) \, du = \frac{5}{2} (-\cos(u)) + C $
$ = -\frac{5}{2} \cos(u) + C $
Revertimos la sustitución \( u = x^2 \):
$ F(x) = -\frac{5}{2} \cos(x^2) + C $
Usamos la condición \( F(0) = 1 \):
$ F(0) = -\frac{5}{2} \cos(0^2) + C = 1 $
$ F(0) = -\frac{5}{2} \cos(0) + C = 1 $
$ F(0) = -\frac{5}{2} \cdot 1 + C = 1 $
$ -\frac{5}{2} + C = 1 $
$ C = 1 + \frac{5}{2} $
$ C = \frac{2}{2} + \frac{5}{2} $
$ C = \frac{7}{2} $
Nos queda entonces:
$ F(x) = -\frac{5}{2} \cos(x^2) + \frac{7}{2} $